Productos Notables: Cuadrado de la suma de dos términos o de un binomio

👉¿Cómo se definen los productos notables?👈

===AL FINAL ESTÀN LOS EJEMPLOS PASO A PASO====

Los productos notables se pueden considerar como multiplicaciones especiales entre expresiones algebraicas, que debido a sus características resaltan del resto de multiplicaciones. Lo que hace que un producto sea notable tiene como característica de que cumple ciertas reglas fijas, de tal manera que su resultado puede escribirse mediante una simple inspección, es decir no necesitan ser resueltas tradicionalmente, como la de verificar o realizar la multiplicación paso a paso y aplicar la propiedad distributiva.

Esto es muy importante, cuando los polinomios que son multiplicados entre sí, posiblemente tengan gran cantidad de términos y variables, por tanto, para hacer más corto el proceso, se utiliza los productos notables.

Cada producto notable es en sí una formula que surge de una factorización, que tienen polinomios con varios términos, como binomios o trinomios a los que se denominan factores.

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7 productos notables más importantes a estudiar son:

✅ Cuadrado de la suma de dos términos.
✅ Cuadrado de la diferencia de dos términos.
✅ Producto de la suma por su diferencia.
✅ Productos de la forma (x+a)(x+b)
✅ Cubo de la suma de dos términos.
✅ Cubo de la diferencia de dos términos.
✅ Diferencias de cubos.

Si tienes alguna duda puedes dejar tu comentario y en la mayor brevedad te daré respuesta. Saludos.

👉 Cuadrado de la suma de dos términos o cuadrado de un binomio 👈

En álgebra se puede considerar que la suma más simple como (a+b), por tanto, su cuadrado lo escribimos (a+b)². Si desarrollamos esta potencia en forma tradicional, es decir aplicando la propiedad distributiva y agrupando términos semejantes quedaría de la siguiente forma:

(a+b)² = (a+b)(a+b)

                       = aa + ab + ba + bb

                = a² + 2ab + b²

Este último resultado es el que va a definir el producto notable, es decir la regla que va a desarrollar (a+b)² sin necesidad de aplicar la propiedad distributiva.

Si se sabe que (a+b)² = a² + 2ab + b², siendo a primer término y b segundo término, entonces la regla se va a enunciar de la siguiente manera:

"El cuadrado de la suma de dos términos es igual al primer término al cuadrado más dos veces el primer término por el segundo más el segundo término al cuadrado". 

(1^ero + 2^do)² = (1^ero)² + 2(1^ero)(2^do) +(2^do)² 

👉 ¿Cómo fue la evolución histórica de los productos notables tal como los conocemos hoy día? 👈

Antes de empezar a resolver ejercicios, es decir aplicar la regla, vamos a hacer un poco de historia:

Es interesante conocer cuál es el origen histórico del producto notable cuadrado de la suma de dos cantidades o cuadrado de un binomio.

Los productos notables fueron creados en Grecia, de ahí pasaron a Arabia y gracias a los árabes llegaron a España y luego a través de estos a américa. 

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Según Euclides, en el Libro II, el teorema 4, se enuncia que: “Si se corta al arbitrio un segmento, el cuadrado de la línea entera es igual al cuadrado de las partes más el duplo del rectángulo comprendido por las partes”. 

Si llamamos, por ejemplo, c a la línea entera, y la cortamos en las partes a y b, 

es decir si c = a + b, entonces Euclides dice que c² = a² + b² + 2ab  (ab es lo que Euclides llama el rectángulo comprendido por las partes).

Y si c = a + b, la expresión anterior la podemos escribir como: 

(a + b)² = a² + b² + 2ab  

Euclides lo enunció por el 300 a. C. y dio una demostración gráfica.

En la primera imagen hay un cuadrado de lado a+b, por lo tanto su área es igual  (a + b)²

En esta figura, es el mismo cuadrado anterior pero dividido, el cual lo podemos desglosar como se indica a continuación:

Como las áreas de los dos triángulos amarillos son iguales, tenemos:

Si comparamos las áreas de la primera imagen con las áreas de las figuras coloreadas se tiene que:

(a+b)² = a² + 2ab + b²

👉Ejemplos de cuadrado de la suma de dos términos o cuadrado de un binomio.👈

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Ejemplo 1

Ejemplo 2

Ejemplo 3

Ejemplo 4

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Ejemplo 5

Ejemplo 6

OBSERVACIÓN: Como ya sabes aplicar el producto notable, los siguientes ejercicios se realizarán directamente. Se recomienda tener escrita el producto notable en una ficha si todavía no lo has aprendido de memoria.

Ejemplo 7

Ejemplo 8

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Ejercicios para resolver:

👉👉Próximo producto notable a estudiar CUADRADO DE LA DIFERENCIA DE DOS TÉRMINOS👈👈