Cuadrado de la diferencia de dos términos o de un binomio. Productos Notables

Cuadrado de la diferencia de dos términos o cuadrado de la diferencia de un binomio

Al final están los ejercicios resueltos paso a paso

La diferencia más simple en álgebra puede escribirse como (a-b), por tanto, su cuadrado es (a-b)². Si desarrollamos esta potencia en forma tradicional, es decir aplicando la propiedad distributiva y agrupando términos semejantes quedaría de la siguiente forma:

(a – b)² = (a – b)(a – b)

= aa – ab – ba + bb

= a² – 2ab + b²

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Este último resultado es el que va a definir el producto notable, es decir la regla que va a desarrollar (a – b)² sin necesidad de aplicar la propiedad distributiva.

Entonces si se sabe que (a – b)² = a² – 2ab + b² siendo a primer término y b segundo término, entonces la regla se va a enunciar de la siguiente manera:

El cuadrado de la diferencia de dos términos es igual al primer término al cuadrado menos dos veces el primer término por el segundo más el segundo término al cuadrado.

 (1^ero  -  2^do)²  = (1^ero)² -  2(1^ero)(2^do) + (2^do)²

¿Cómo se representa e interpreta geométricamente el cuadrado de la diferencia de dos términos o de un binomio?

Consideremos un cuadrado de lados a. También un segmento b horizontal sobre el segmento a, si prolongamos las líneas va a resultar lo siguiente figuras:

 

Los segmentos a−b y b horizontales y verticales dividen al cuadrado en cuatro áreas menores: dos cuadrados, uno de lado a−b y otro menor de lado b, y dos rectángulos de largo a−b y ancho b . 

La suma de las áreas de estos cuadrados y rectángulos es igual al área total del cuadrado de lado a² . Por lo tanto, el área del cuadrado de a−b es igual al área total menos el área de los rectángulos menos el área del cuadrado menor, esto es: 

Como (a-b)b es igual a b(a-b), se tiene que:

De la imagen anterior, igualamos y operamos el lado derecho, lo que resulta:

(a−b)² = a² −2b(a−b)−b² 

= a² −2ba+2b² −b² 

= a² −2ab + b²

^{de esta manera queda demostrado que:}

(a−b)² = a² −2ab + b² 

^{OBSERVACIÓN IMPORTANTE: Para resolver ejercicios de productos notables, generalmente debe tener claro las propiedades de la potenciación. A continuación se dará las más importantes:} 

^{Ejemplos resueltos}

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 Ejemplo 1

 Ejemplo 2

 Ejemplo3

 Ejemplo 4

 Ejemplo 5

 Ejemplo 6
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Ejemplo 7

Video que te ayudará a reforzar el tema.

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