FUNCIÓN LOGARÍTMICA: Representación gráfica y análisis completo

Construcción y análisis de Funciones Logarítmicas

Una función logarítmica se puede definir como toda función donde la variable independiente forma parte del argumento; genéricamente se expresa como:

La función logarítmica es la función inversa de la función exponencial, veamos la demostración:

¿Cómo se calcula el dominio de la función logarítmica?

Es importante tener siempre presente que no está definido el logaritmo para números negativos, ni siquiera para el cero.

El dominio de la función logarítmica está formado por el conjunto de los números reales que hacen que su argumento, lo que hay dentro del logaritmo, sea mayor que cero, independientemente de la base.

En todos los casos, el argumento es un polinomio y se calcula formando una inecuación mayor que cero, se despeja la variable y se determina el conjunto solución para el dominio.

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Asíntota de la función logarítmica

Las asíntotas son rectas a las cuales la función se va aproximando indefinidamente, cuando por lo menos una de las variables tiende al infinito.

O dicho de otra manera, cuando una función no está definida en un punto, pero para valores cercanos a dicho punto (por la derecha, por la izquierda o por ambos lados), las imágenes correspondientes se hacen cada más grandes (o cada vez más pequeñas), entonces afirmamos que, la recta vertical que pasa por ese punto la llamaremos asíntota vertical.

La función logarítmica tiene asíntotas verticales, es decir paralelas al eje OX

¿Cómo se calcula la asíntota de un logaritmo?

La asíntota vertical de un logaritmo se calcula tomando su argumento e igualándolo a cero, lo que se forma una ecuación y se procede a despejarla.

Ejemplo:

Entonces, la asíntota vertical del logaritmo es x=-5

¿Cuál es el rango de una función logarítmica?

El rango de una función logarítmica son todos los números reales:

 

Si consideramos en un logaritmo log_a b = c el exponente al que se debe elevar la base a para que el resultado sea b, es decir: a^c = b, no hay un límite al que se pueda elevar un número, las posibilidades son infinitas, tanto en lo positivo como en lo negativo, porque son todos los reales.

La función es inyectiva puesto que cualquier recta horizontal que tracemos sobre la gráfica la intercepta como máximo en un punto.

La función es sobreyectiva, pues su recorrido es el conjunto R

La función es Biyectiva, por ser inyectiva y sobreyectiva

👉 OBSERVACIÓN IMPORTANTE: En las funciones que se han graficado anteriormente se ha hecho uso de una tabla de valores, donde se le asignaba valores a la variable independiente x y calcular los resultados de la variable dependiente y. Sin embargo, en esta ocasión resulta arduo hacerlo de la misma manera. Por lo tanto, puede hacerse, aplicando conveniente la definición de logaritmo, que es:
De manera práctica, se trabajará con la segunda igualdad, asignándole valores a la variable dependiente (y) y encontrando los resultados de la variable independiente (x).

¡MUY IMPORTANTE! Para representar gráficamente los logaritmos deben conocer y saber aplicar la definición de logaritmos. Además se tiene que recordar las propiedades de la potenciación.

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EJEMPLO 1:

✅ Tabla de valores:

✅ Representación gráfica:

✅ Resumen características de la gráfica:

EJEMPLO 2:

✅ Tabla de valores:

✅ Representación gráfica:

✅ Resumen características de la gráfica:

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EJEMPLO 3:

✅ Tabla de valores:

✅ Representación gráfica:

✅ Resumen características de la gráfica:

EJEMPLO 4:

✅ Tabla de valores:

✅ Representación gráfica:

✅ Resumen características de la gráfica:

EJEMPLO 5:

✅ Tabla de valores:

✅ Resumen características de la gráfica:

✅ Otras características:

EJEMPLO 6:

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✅ Tabla de valores:

✅ Representación gráfica:

✅ Resumen características de la gráfica: