Cómo graficar una función exponencial paso a paso

Representación gráfica de una Función Exponencial

¿Cómo se define una función exponencial?

Una función de la forma y = f(x) = ka^x+b donde aϵR, a > 0  y a ≠ 1, con kϵR, k ≠0 y bϵR es una función exponencial, donde a es la base de la función exponencial.

R= Números  Reales

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Ejemplos de funciones exponenciales:

f(x) = 5^x;    y = (1/2)^x;   f(x) = 5^x+2; 

y = 3(5/2)^x-3;   f(x) = 5^x+1+2

En función es indiferente tener y o f(x), es decir y = f(x)

Casos de funciones exponenciales que se pueden presentar: 

f(x) = ka^x, con k=1  y a > 0  y a ≠ 1

f(x) = ka^x, con k=1  y 0 <a < 1  y a ≠ 1

f(x) = ka^x, con kϵR, k≠0  y a > 0   y a ≠ 1

f(x) = a^x±b con k=1  y a > 0   y a ≠ 1; bϵR

f(x) = a^x±b con k=1  y 0 <a < 1   y  a ≠ 1; bϵR

f(x) = ±ka^x±b con kϵR, k≠0  y 0 <a < 1   y a ≠ 1; bϵR

Cada función tiene características particulares pero la que es común a toda función exponencial es que su dominio son todos los números reales, es decir:

Dom f = (−∞,+∞) = R

Una función exponencial tiene ASÍNTOTA HORIZONTAL

Es de vital importancia para graficar funciones tener siempre presente donde está ubicada la asíntota horizontal, en cada caso, porque ella siempre  indica el rango o recorrido que toma la función.

La asíntota horizontal: es una recta horizontal a la cual la gráfica de la función se va acercando cuando los valores en el dominio de la función aumentan o disminuyen. Si la gráfica de la función tiene esta asíntota, entonces ella nos describe el comportamiento al final de la gráfica. Las asíntotas no son parte de la gráfica, pero ayudan a trazarla. Como no son parte de la gráfica, por eso se trazan entrecortadas

La asíntota horizontal siempre nos la va a indicar el término independiente b de la función:

f(x) = ka^x+b

¿Cómo graficar una función exponencial?

Para graficar una ecuación exponencial se toman valores para x, determinando los correspondientes valores para y o f(x), para finalmente localizar los puntos sobre un eje de las coordenadas.

NOTA IMPORTANTE: Para graficar funciones exponenciales es necesario conocer a plenitud la definición de ecuación exponencial, propiedades de la potenciación. definición y propiedades de logaritmos para resolver algunas ecuaciones exponenciales que surgen según sea el tipo de función exponencial a graficar.

Ejemplos de representación gráfica de funciones exponenciales paso a paso.

Ejemplo 1:

Tabla de Valores:

Representación gráfica:

Características de la gráfica:

✅ Como la base es mayor que 1 y K=1 (positivo) la función es CRECIENTE de izquierda a derecha.

✅ El dominio de la función son los números reales Dom f = R

✅ El rango de la función son los números reales positivos Rgo f = (0;+∞)

✅ La recta y=0 (el eje x) es una asíntota horizontal por la izquierda, esto quiere decir que la gráfica de la función se acerca cada vez más a esta recta. Sin embargo cuando incrementamos los valores de x entonces la gráfica asciende rápidamente.

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Ejemplo 2:

Tabla de Valores:

Representación gráfica:

Características de la gráfica:

✅ Como la base es menor que 1 la función es DECRECIENTE de izquierda a derecha.

✅ El dominio de la función son los números reales Dom f = R

✅ El rango de la función son los números reales positivos Rgo f = (0;+∞)

✅ La recta y=0 (el eje x) es una asíntota horizontal por la derecha, esto quiere decir que la gráfica de la función se acerca cada vez más a esta recta cuando x toma valores cada vez más grande. Sin embargo la función toma valores tan altos como se quiera para valores de x negativos y grandes en magnitud.

Ejemplo 3:

Tabla de valores:

Representación gráfica:

Característica de la gráfica:

✅ Como la base es mayor que 1 y K=1 (positivo) la función es CRECIENTE de izquierda a derecha.

✅ El dominio de la función son los números reales Dom f = R

✅ El rango de la función son los números reales positivos Rgo f = (-3;+∞)

✅ La recta y=-3  es una asíntota horizontal por la izquierda, esto quiere decir que la gráfica de la función se acerca cada vez más a esta recta. Sin embargo cuando incrementamos los valores de x entonces la gráfica asciende rápidamente.

Ejemplo 4:

Tabla de Valores:

Representación gráfica:

Característica de la gráfica:

✅ Como la base es mayor que 1 y K=-1 (negarivo) la función es decreciente de izquierda a derecha.

✅ El dominio de la función son los números reales Dom f = R

✅ El rango de la función son los números reales positivos Rgo f = (+∞;-1)

✅ La recta y=-1 es una asíntota horizontal por la izquierda, esto quiere decir que la gráfica de la función se acerca cada vez más a esta recta. Sin embargo cuando incrementamos los valores de x entonces la gráfica DESCIENDE rápidamente.

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Ejemplo 5:

Tabla de Valores:

Representación gráfica:

Característica de la gráfica:

✅ Como la base es menor que 1 y K=1 (positivo) la función es DECRECIENTE de izquierda a derecha.

✅ El dominio de la función son los números reales Dom f = R

✅ El rango de la función son los números reales positivos Rgo f = (1;+∞)

✅ La recta y=1 es una asíntota horizontal por la DERECHA, esto quiere decir que la gráfica de la función se acerca cada vez más a esta recta. Sin embargo cuando incrementamos los valores de x entonces la gráfica DESCIENDE rápidamente.

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Ejemplo 6:

Tabla de Valores:

Representación gráfica:

Característica de la gráfica:

✅ Como la base es mayor que 1 y K=-2 (NEGATIVO) la función es DECRECIENTE de izquierda a derecha.

✅ El dominio de la función son los números reales Dom f = R

✅ El rango de la función son los números reales positivos Rgo f = (-∞;1)

✅ La recta y=1  es una asíntota horizontal por la izquierda, esto quiere decir que la gráfica de la función se acerca cada vez más a esta recta. Sin embargo cuando incrementamos los valores de x entonces la gráfica desciende rápidamente.