Estudio y análisis completo de la FUNCIÓN CUADRÁTICA en forma polinómica

Estudio y análisis completo de la FUNCIÓN CUADRÁTICA polinómica

¿Cómo definimos una función cuadrática?

Toda función de R en R, definida por f(x) = ax²+bx+c ó y = ax²+bx+c, en donde a,b,c ϵ R y a ≠ 0 se llama función cuadrática.

Para el estudio completo de funciones cuadráticas f(x) = ax²+bx+c, tenemos que determinar los siguientes aspectos:

✅ Concavidad (Orientación)

✅ Vértice

✅ Eje de simetría

✅ Los intercepto (Puntos de corte con los ejes)

✅ Tabla de valores

✅ Gráfica

✅ Dominio y rango

✅ Monotonía (Crecimiento de decrecimiento)

✅ Positividad y negatividad de la función

En que consiste la Concavidad

Sea f(x) = ax²+bx+c, cuando la a, coeficiente de x² es positiva a>0, la curva abre hacia arriba y decimos que CÓNCAVA HACIA ARRIBA y cuando a es de magnitud negativa, a<0, la curva abre hacia abajo y decimos que es CÓNCAVA HACIA ABAJO. 

Dominio de una función cuadrática

El dominio de una función cuadrática es el conjunto de los números reales R. Esto se explica porque todo número real puede ser sustituido por x y el valor correspondiente de y será también un número real.

Rango de una función cuadrática

El rango de una función cuadrática será un subconjunto de los números reales R

No es inyectiva ni sobreyectiva

Eje de la parábola o eje de simetría en una función cuadrática

Toda parábola que abre arriba o hacia abajo, tendrá un eje de simetría que es una recta vertical que pasa por el vértice. 

El eje de simetría lo podemos calcular por medio de dos expresiones:

 

x₁ y x₂ son los valores de las raíces o ceros de la función.

Vértice: Máximo y Mínimo de una función cuadrática

El vértice de la parábola está ubicado sobre el eje de simetría y es el único punto de intersección de la parábola con el eje de simetría. A la coordenada x de este punto la llamaremos x_v  y a la y, y_v. El vértice de la parábola vendrá dado por las siguientes coordenadas: V =(x_v; y_v).

La curva siempre tiene un valor de y, que es mínimo cuando a es positiva y máximo cuando a es negativa.

El valor de x con el valor de y que hacen que la curva tenga un máximo o un mínimo, es un punto que se llama vértice, y se calcula mediante la siguiente fórmula:

     

Para calcular la componente y_v  del vértice, sustituimos el valor de x_v  en la expresión y = ax²+bx+c

Interceptos (Puntos de corte con eje y y con eje x) 

👉El punto de corte con el eje y también llamada ORDENADA AL ORIGEN, se obtiene haciendo x = 0 en y = ax²+bx+c

👉 Punto de corte con el eje x o llamados raíces o ceros de la función cuadrática.

Las raíces o ceros de la función cuadrática son aquellos valores de x para los cuales la expresión vale 0. Gráficamente, las raíces corresponden a las abscisas de los puntos donde la parábola corta al eje x.

El punto  de corte con el eje x se obtiene haciendo y = 0, es decir, ax²+bx+c = 0 y se resuelve la ecuación de segundo grado, generalmente por medio de la llamada resolvente:

J

EEJEEEEE

Ejemplos elementos de la función cuadrática

ESTUDIO Y ANÁLISIS COMPLETO DE LAS FUNCIONES CUADRÁTICAS EN FORMA POLINÓMICA

EJEMPLO 1

EJEMPLO 2

EJEMPLO 3

EJEMPLO 4

EJEMPLO 5