¿Cómo obtener el mínimo común múltiplo de dos o más números?

Antes de empezar a realizar operaciones con números fraccionarios es necesario tener claro los siguientes conceptos:

¿Qué es un Número primo?

Se dice que un número es primo si es mayor que 1 y solo puede dividirse entre 1 y entre si mismo, es decir no admite ningún otro número que lo divida.

Si un número no es primo se llama compuesto

Los números primos son los “ladrillos” con los que se armar los demás números naturales. Es decir, cualquier número natural es producto de números primos. Todo número compuesto puede escribirse como multiplicación de dos o más factores primos.

El número 1 no es ni primo ni compuesto ya que tiene un único divisor que es él mismo.

** **

Criterios de divisibilidad

Podemos definir los criterios de divisibilidad como la operación matemática que cumple pautas, condiciones o reglas que nos permiten saber o llegar a la conclusión, de forma inmediata, si un número es divisible por otro, sin necesidad de realizar la división. Es decir, nos permiten saber si cuando los dividamos el resto de la división será cero o no.

Los criterios de divisibilidad son de gran ayuda puesto que nos ayudan a encontrar los divisores de un número, en especial cuando se tiene que descomponer en factores primos o para simplificar fracciones.     

👉Principales criterios de divisibilidad

Criterios de divisibilidad por 2: 

Un número es divisible por dos si termina en cero o en cifra par.

48 es divisible por 2 porque es par.
27 no es divisible por 2 porque no es par.

Criterios de divisibilidad por 3:

 Un número es divisible por tres, si la suma de sus cifras es múltiplo de tres.

63 es divisible por 3 porque 6 + 3 = 9 es múltiplo de tres.
31 no es divisible por 3 porque 3 + 1 = 4 que no es múltiplo de tres.

Criterios de divisibilidad por 4:

 Un número es divisible entre 4 cuando sus últimos dos dígitos son 0 o un múltiplo de 4. Por ejemplo, 300 y 516 son divisibles entre 4 porque terminan en 00 y en 16, respectivamente, siendo este último un múltiplo de 4.

Criterios de divisibilidad por 5: 

Un número es divisible por cinco cuando acaba en cero o en cinco.

45 es divisible por 5 porque acaba en cinco.
180 es múltiplo de 5 porque acaba en cero.

Criterios de divisibilidad por 6: 

Un número debe cumplir con los criterios de divisibilidad del 2 y del 3 para ser divisible entre 6. Por ejemplo, 1.440 termina en 0 y, a su vez, al sumar sus dígitos (1+4+4) obtenemos 9 que es un múltiplo de 3.

Criterios de divisibilidad por 7: 

Se debe multiplicar el último dígito por 2 y restarlo al número que conforman los demás dígitos. Esto, hasta que queda un número de solo un dígito. Si este es un 0 o un 7, el número es divisible entre 7.

Criterios de divisibilidad por 8: 

Los últimos tres dígitos deben ser múltiplos de ocho o iguales a 0. Por ejemplo, 5.000 y 1.504 (504/8=63).

Criterios de divisibilidad por 9: 

Un número es divisible por nueve cuando la suma de sus cifras es múltiplo de nueve.

81 es divisible por 9 porque la suma de sus cifras es múltiplo de 9 (8 + 1 = 9)
738 es múltiplo de 9 porque 7 + 3 + 8 = 18, que es múltiplo de 9.

Criterios de divisibilidad por 10: 

Un número es divisible por 10 si termina en cero. De manera similar, si termina en 00 es divisible por 100; si termina en 000 es divisible por 1000. El número 70 es divisible por 10 porque termina en cero.

Descomposición de un número en sus factores primos

Todo número compuesto puede expresarse como el producto de números primos.

La descomposición en factores primos se utiliza para simplificar expresiones numéricas, para realizar operaciones con potencias, para extraer factores de una raíz y para el cálculo del Máximo Común Divisor (M.C.D.) y el Mínimo Común Múltiplo (m.c.m.) de varios números.

Pasos para descomponer un número en sus factores primos

Para descomponer un número en producto de factores primos se siguen estos pasos:

✅Se escribe el número a la izquierda de una raya vertical y a su derecha el menor número primo (2, 3, 5, 7,... ) por el cual dicho número sea divisible. El cociente obtenido se coloca debajo del número propuesto.

✅Se procede como en el paso anterior con el cociente obtenido, y así sucesivamente hasta llegar a un cociente igual a 1.

✅Los números que están a la izquierda de la línea, son los cocientes parciales y los de la derecha, son los factores primos.

✅Recuerda que siempre debes comenzar por el menor número primo por el cual, el número que te están preguntando, sea divisible.

Ejemplos:

** **

¿Cómo obtener el mínimo común múltiplo de dos o más números?

El mínimo común múltiplo (m.c.m) de dos o más números es el menor múltiplo común distinto de cero.

Ejemplos:

La anterior forma de calcular el mínimo común múltiplo  de varios números es válida, pero no práctica cuando se trata de varios números y cantidades altas.

La forma práctica más aceptada es la siguiente:

✅Se descomponen los números en sus factores primos.

✅Se multiplican los comunes y no comunes con su mayor exponente.

Ejemplos:

Hay otra forma de calcular el m.c.m, es sumamente práctica y rápida, pero hay que trabajar con mucho cuidado y es el siguiente:

Se colocan todos los números, unos muy cerca del otro, seguidamente de la tradicional línea vertical. Luego se procede a obtener los cocientes con cada número primo, que puede ser divisor para todos o solamente para algunos. Los que no se dividen exactamente se bajan y se dejan igual. Se repite el proceso para el mismo número primo o siguiente sea divisor de los cocientes parciales de la izquierda.

El m.c.m se obtiene multiplicando los números que están a la derecha de la raya vertical, es decir todos los números primos que sirvieron de divisores a los cocientes de la izquierda.

Ejemplos:

Descarga de ejercicios propuestos: Descomposición de un número en sus factores primos y cálculo del mínimo común múltiplo m.c.m de dos o más números.

¡Dios les bendiga grandemente!