Los logaritmos. Cómo se aplican las propiedades de los logaritmos en la resolución de problemas numéricos y algebraicos

 ¿Cómo se define un logaritmo en matemáticas?

El logaritmo de un número respecto acierta base, es igual al exponente a que se debe elevarse dicha base para encontrar al número.

Cuando en la expresión y = a^x, nos dan a a y x para calcular y, estamos en la función exponencial.

Cuando en la expresión y = a^x, nos dan a e y para calcular x, estamos en la función logarítmica.

Ejemplos de la aplicación de la definición de logaritmo

✅ Calcular el logaritmo de 8 en base 2

Razonamiento: tenemos que encontrar un número x, tal que, 2 elevado a este número x sea igual a 8, por lo tanto, escribimos aplicando la definición:

✅ Calcular el logaritmo de 25 en base 5

Razonamiento: tenemos que encontrar un número x, tal que, 5 elevado a este número x sea igual a 25, por lo tanto, escribimos aplicando la definición:

✅ Calcular el logaritmo de 27 en base 3

✅ Calcular el logaritmo de 1000 en base 10

Razonamiento: tenemos que encontrar un número x, tal que, 10 elevado a este número x sea igual a 1000, por lo tanto, escribimos aplicando la definición:

Nota: Cuando el logaritmo tiene base 10 no se escribe, se sobrentiende que es 10.

✅ Calcular el logaritmo de 0,0001 en base 10

Razonamiento: tenemos que encontrar un número x, tal que, 10 elevado a este número x sea igual a 0,0001, por lo tanto, escribimos aplicando la definición:

Tipos de logaritmos más utilizados en matemática.

✅Logaritmos comunes o logaritmos de Briggs.

Los logaritmos de base 10 se conocen como logaritmos comunes o logaritmos de Briggs, Éste es el sistema de logaritmos que se utiliza, principalmente, para realizar operaciones aritméticas.

En este tipo de logaritmos los números como 10, 100, 1000, 0.1, 0.01, 0.001, etcétera, es decir las potencias de diez, tienen como logaritmos a números enteros, y cualquier otro número tiene como logaritmo a un número entero más una fracción. El logaritmo común de x se denota como log x .

A la parte entera de un logaritmo común se le conoce como característica y a la parte fraccionaria como mantisa.

✅Logaritmos naturales o logaritmos neperianos

Otro sistema de logaritmos, muy importante por su uso, es el de los logaritmos naturales, o logaritmos neperianos, que tiene como base el número irracional e = 2.71828.... ; el logaritmo natural de x se representa por ln x. 

Como es de esperarse, en este tipo de logaritmos los números que tienen logaritmos enteros son las potencias de e.Los logaritmos naturales se generaron para el estudio de cuestiones teóricas en el cálculo diferencial e integral, y para la descripción de fenómenos naturales, por ejemplo, para determinar la longitud de la trayectoria de un proyectil; la cantidad de trabajo hecho por un gas que se expande; el tiempo que requiere un objeto caliente para enfriarse a una temperatura dada; el tiempo necesario para que una colonia de bacterias crezca a un tamaño dado, entre otras muchas.

👉Propiedades generales de los logaritmos en cualquier base.

(P1) La base de un sistema de logaritmos no puede ser negativa:

Porque si fuera negativa, sus potencias pares serían positivas y las impares negativas, y tendríamos una serie de números positivos y negativos, y por tanto, habría números positivos que no tendrían logaritmo.

(P2) Los números negativos no tienen logaritmo 

Porque siendo la base positiva, todas sus potencias, ya sean pares o impares, son positivas y nunca negativas.

(P3) El logaritmo de 1 en cualquier base es cero.

(P4) El logaritmo de la base siempre es 1

Ejemplos:

(P5) El logaritmo del producto de varios números, es igual a la suma de los logaritmos de los factores.

Demostración:

Ejemplos:

(P6) Logaritmo de un cociente

El logaritmo de un cociente es igual al logaritmo del dividendo menos el del divisor.

Ejemplos:

(P7) Logaritmo de una potencia

El logaritmo de una potencia es igual al exponente por el logaritmo de dicha potencia.

Ejemplos:

(P8) Logaritmo de una raíz

El logaritmo de una raíz es igual al logaritmo de la parte subradical dividido por el índice de la raíz.

Ejemplos:

(P9)  Si utilizamos como exponente de un cierto número b el logaritmo de un número a en base b, obtendremos el número a.
Es decir:
Es decir:

Demostración:
Por definición sabemos que:

Entonces sustituyendo c en la segunda igualdad obtenemos el resultado que queríamos demostrar:

Ejemplo:

(P10) Cambio de base en un logaritmo

El logaritmo de un número b en una cierta base a, es igual al cociente de los respectivos logaritmos de b y a en cualquier otra base B.
Es decir:

Ejemplos:

Resolución de ejercicios aplicando las propiedades generales de los logaritmos

OBSERVACIÓN: En la parte lateral derecha de los ejemplos, aparece la propiedad que se utiliza P en cada paso. Deben ubicarla según el orden en que fueron descritas anteriormente.

,

Ejemplo 1:

Ejemplo 2:

Ejemplo 3:

Ejemplo 4:

Ejemplo 5:

Ejemplo 6:

Ejemplo 7:

Ejemplo 8:

Ejemplo9:

Ejercicios propuestos.