Cómo definimos las razones trigonométricas del seno. coseno. tangente, así como sus inversas, cosecante, secante y cotangente

 

¿Cómo puede definirse la trigonometría?

Etimológicamente trigonometría proviene de las palabras griegas trígono (triángulo) y metría (medida)

Es así que podemos definir la trigonometrá como la rama de las matemáticas que se ocupa de estudiar y analizar la relación existente entre los lados y los ángulos de los triángulos.

Para ello requiere la utilización funciones asociadas a los ángulos, unos conceptos muy conocidos, llamados razones trigonométricas: seno, coseno, tangente, cotangente, secante y cosecante, las cuales estudiaremos con suficiente amplitud posteriormente.**

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¿Para qué sirve la trigonometría?

✅Una de las aplicaciones más comunes de la trigonometría es para medir distancias en formaciones triangulares. Es sabido que su uso se puede remontar a las civilizaciones de los babilonios, los egipcios, griegos y tal vez a otras culturas antiguas. También es parte fundamental de la geometría analítica, que estudia las figuras geométricas.

✅La trigonometría se utilizó ampliamente en la navegación por medio de una herramienta llamada sextante, con la que era utilizada para medir distancias triangulando con las estrellas.

✅También es utilizada en la Ingeniería para determinar alturas de postes, de acuerdo con el ángulo que formaría entre la punta y el final de su sombra; también para calcular inclinaciones de plataformas, de acuerdo con los ángulos que éstos forman con el piso.

✅Se sabe que los antiguos egipcios utilizaban las máquinas simples durante la construcción de las pirámides, en que utilizaron en gran medida la trigonometría. Así que, un ángulo de 45 grados aplicado en un plano inclinado reduce a la mitad el esfuerzo para deslizar cualquier objeto sobre él, o que facilitó enormemente la construcción de grandes obras, tales como las pirámides ya conocidas.

En la Trigonometría suelen usarse teoremas y leyes que indican la manera en que se tienen que calcular los lados y ángulos de los triángulos. Es así que tenemos:

☝El Teorema de Pitágoras es uno de los más importantes, y se aplica en los triángulos rectángulos, es decir, triángulos que tienen un ángulo de 90 grados, llamado también ángulo recto. Se enuncia de la siguiente manera:

En todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.

La fórmula se expresa así:

c² = a² + b²

☝El Teorema de Tales indica que, de cumplirse ciertas condiciones, dos triángulos pueden llegar a ser semejantes. Los llamados criterios de semejanza se basan en los lados y los ángulos de ambos triángulos en cuestión. Si algunos de estos lados y ángulos coinciden entre triángulos, los triángulos son semejantes. 

☝Las Leyes de Senos y Cosenos son dos leyes que relacionan los lados y ángulos en un mismo triángulo, para ir calculando las medidas de aquellos lados y ángulos que falten. Son similares a Teorema de Pitágoras, pero se caracterizan por actuar en triángulos que no son rectángulos. Es decir, cuando no se puedan aplicar las razones o funciones trigométricas.

Razones trigonométricas

Antes de definir las razones trigonométricas como tal, vamos a entender lo que significa el término razón en el ámbito de las matemáticas. Este es definido como la relación entre dos magnitudes, la cual puede ser su diferencia o su cociente.

Ahora bien, la noción de razón trigonométrica se refiere a los vínculos que pueden establecerse entre los lados de un triángulo rectángulo, es decir aquel que posee un ángulo de 90°. Existen tres grandes razones trigonométricas: tangente, seno y coseno.

Para poder entender las razones trigonométricas hay que saber identificar los lados del triángulo rectángulo: catetos e hipotenusa.

Además, según el ángulo que se esté estudiando, los catetos pueden ser adyacente u opuesto. El cateto adyacente es aquel que pasa por el ángulo de noventa grados, mientras que el cateto opuesto es, justamente, el opuesto al ángulo. Ambos, por lo tanto, conforman el ángulo de 90º. La hipotenusa, en cambio, es el lado mayor del triángulo.

Es importante aclarar que las razones trigonométricas son adimensionales, ya que están definidas como el cociente entre dos longitudes.

👉 El proceso que utilizaremos solo es aplicable a ángulos agudos, es decir cuya medida esta comprendida entre 0 y π/2.👈

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Como en un triángulo hay lados y ángulos cuyas medidas son diferentes. con el objeto de poder relacionar los ángulos con las longitudes o viceversa, definimos las razones trigonométricas de seno. coseno. tangente, así como sus inversas, cosecante, secante y cotangente.

Triángulo Rectángulo

Ubicación del catetos adyacente u opuesto según el ángulo que se este midiendo.

Cómo se definen las Razones trigonométricas directas

✅Seno de α

Se llama seno de α a la razón entre el cateto opuesto AB y la hipotenusa BC:

✅Coseno de α

Se llama coseno de α a la razón entre el cateto adyacente AC y la hipotenusa BC

✅Tangente de α

Se llama tangente de α a la razón entre el cateto opuesto AB y el cateto adyacente AC

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Partiendo de las anteriores podemos hallar las razones trigonométricas reciprocas de la siguiente manera:

✅Cotangente de α

Se llama cotangente de α a la razón entre el cateto adyacente AC y el cateto opuesto AB

Esta es la reciproca de la tangente

✅Secante de α

Se llama secante de α a la razón entre la hipotenusa BC y el cateto adyacente AC

Esta es la reciproca del coseno

✅Cosecante de α

Se llama cosecante de α a la razón entre la hipotenusa BC y el cateto opuesto AB

Esta es la reciproca del seno

OBSERVACIÓN IMPORTANTE: Otra expresión muy importante para la tangente es:

Por lo tanto, su inversa es la cotangente:

Resolución de ejercicios aplicando la definición de Razones Trigonométricas

Ejemplo 1

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Ejemplo 2

Ejemplo 3