El Conjunto de los Números Enteros y sus Operaciones Básicas

Conjunto de los Números Enteros

Cuando estudiábamos el conjunto de números naturales sentíamos que había ciertas restricciones desde el punto de vista operativo como de dar valor o nombrar a objetos, cosas o fechas. Es así que hubo la necesidad de que crear otro conjunto numérico. Es así que surge el conjunto de los números enteros como una necesidad de llenar esos vacíos que existían al trabajar con los naturales: resolver sustracciones donde el minuendo es menor que el sustraendo, expresar la pérdida de dinero en un negocio, señalar temperaturas bajo cero, indicar las profundidades bajo el nivel del mar, escribir algunas fechas históricas entre otros.

¿Qué son los números enteros?

Podemos definir los números enteros o simplemente enteros al conjunto numérico que contiene a la totalidad de los números naturales, a sus inversos negativos y al cero.

Este conjunto numérico lo designamos mediante la letra Z.

Debemos tener presente que:

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¿Cómo representar los números enteros en una recta numérica?

Los números enteros se representan en una recta numérica, teniendo el cero en medio o punto de referencia y los números positivos (Z+) hacia la derecha y los negativos (Z-) a la izquierda, ambos lados extendiéndose hasta el infinito.

Normalmente se transcriben los negativos con su signo (-), cosa que no hace falta para los positivos, pero puede hacerse para resaltar la diferencia.

De esta manera, los enteros positivos son mayores hacia la derecha, mientras que los negativos son cada vez más pequeños a medida que avanzamos a la izquierda. 

Orden de los Números Enteros

✅Para ordenar los números enteros se pueden considerar las siguientes aseveraciones:

✅Todo número entero a la derecha del cero en la recta numérica, es positivo.

✅Todo número entero a la izquierda del cero en la recta numérica, es negativo.

✅Todo número entero que esté a la derecha de otro en la recta numérica, es mayor que él.

✅Todo número entero que esté a la izquierda de otro en la recta numérica, es menor que él.

✅Todo número negativo es menor que cero.

✅Todo número positivo es mayor que cero.

✅Todo número negativo es menor que cualquier número positivo.

Ejemplo:

A continuación vamos a abordar el tema de valor absoluto, aunque de manera superficial, ya que es muy importante para comprender y resolver las operaciones básicas con números enteros.

Valor Absoluto de un número Entero

El valor absoluto de un número entero se define como la distancia (en unidades) de dicho número con respeto al cero en la recta numérica

Como se observa en el ejemplo, el valor absoluto corresponde a una distancia, por lo tanto siempre será positivo.

Valor absoluto de −3 se escribe │−3│y es 3. ... Si dos números enteros tienen el mismo valor absoluto pero distinto signo, se llaman opuestos.

Ejemplos:

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Operaciones con números enteros

Los números enteros pueden sumarse, restarse, multiplicarse o dividirse tal y como los números naturales, pero siempre obedeciendo a las normas que determinan el signo resultante.

Suma o adición de Números Enteros

La suma o adición de números enteros puede definirse en los siguientes casos:

👉Métodos para la suma de enteros:

Utilizando una recta numérica: tomando como referencia el cero, sabiendo que las cifras positivas representan unidades a la derecha y las negativas a la izquierda, moverse tantos espacios a la derecha o izquierda como indiquen los sumandos de la suma.

Ejemplo:

Ejemplo:

Utilizando el concepto de valor absoluto:

Para sumar dos enteros con el mismo signo, hay que hallar la suma de sus valores absolutos, acompañando la suma con el signo de los sumandos.


Si ambos son positivos o uno de los dos es cero, simplemente se deben sumar sus valores absolutos y se conserva el signo positivo. Por ejemplo: 1 + 3 = 4.

Ejemplos:

Si ambos signos son negativos o uno de los dos es cero, simplemente se deben sumar sus valores absolutos y se conserva el signo negativo. Por ejemplo: -1 + -1 = -2.

Ejemplos:

Para sumar dos enteros con diferente signo, hay que hallar la diferencia de los valores absolutos (Mayor valor absoluto – Menor valor absoluto), acompañando el resultado con el signo del entero que tiene mayor valor absoluto.

Ejemplo:

Regla práctica para sumar números enteros

En algunas ocasiones tener muchos paréntesis y signos hacen una simple operación en algo hasta confuso. Si bien es cierto que es como se debería escribir, utilizaremos unas reglas prácticas para simplificar los cálculos. Tengamos en cuenta lo siguiente: 

✅Si a un número que está dentro de un paréntesis le antecede un signo más (+) este no cambia de signo.

✅Si a un número que está dentro de un paréntesis le antecede un signo menos (-) este cambia de signo

Observación: Sí a un número no le antecede el signo más se sobrentiende que es positivo:

 +5 = 5

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Ejemplo:

Ejemplo:

Ejemplo:

Ejemplo:

Suma algebraica en los enteros

Una suma algebraica es una sucesión de sumas y restas.

Para resolverla, se suman todos los números positivos y se resta la suma de todos los negativos.

Ejemplo:

Ejemplos:

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Resta o sustracción de números enteros

Para realizar la resta de enteros se debe sumar el minuendo con el inverso aditivo del sustraendo.

Ejemplos:

8 ∈ ℤ , (−10) ∈ ℤ ⟹ 8 − (−10) = 8 + 10

(−9) ∈ ℤ , 5 ∈ ℤ ⟹ (−9) − 5 = (−9) + (−5)

7 ∈ ℤ , 10 ∈ ℤ ⟹ 7 − 10 = 7 + (−10)

(−18) ∈ ℤ , (−12) ∈ ℤ ⟹ (−18) − (−12) = (−18) + 12

Ejemplos:

Multiplicación de números enteros:

Para multiplicar dos números enteros se multiplican sus valores absolutos; si los dos factores tienen igual signo, el producto es positivo, y si los dos factores tienen distinto signo, el producto es negativo; Se debe tener en cuenta la aplicación de la ley de los signos.

Ley de los signos en la multiplicación

Ejemplos:

Para multiplicar tres o más números enteros, a) se multiplican dos y el resultado se multiplica por otro y así sucesivamente hasta multiplicar por todos los factores (el producto tiene la propiedad asociativa, da igual el orden en que se multipliquen los factores), b) o bien se multiplican todos los valores absolutos y si hay una cantidad par de factores negativos, el producto es positivo; si hay una cantidad impar de factores negativos, el producto es negativo.

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Ejemplos: 

Observación muy importante: Hay una forma práctica para evitar multiplicar signo a signo cuando la multiplicación tiene un gran número de factores. Se procede así:

✅Si el número de signos da un número par: El resultado de la multiplicación queda con signo positivo.

✅Si el número de signos da un número impar: El resultado de la multiplicación queda con signo negativo.

Ejemplos:

División de Números Enteros

Para hallar el cociente exacto de dos números enteros se dividen sus valores absolutos; si el dividendo y el divisor tienen igual signo, el cociente es positivo, y si el dividendo y el divisor tienen distinto signo, el cociente es negativo.

Regla de los signos en la división de enteros

Ejemplos:

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