Aplicación de la Ley del Seno y Ley del Coseno

Ley de los Senos y de los Cosenos

Hasta ahora hemos visto que cuando un triángulo no es rectángulo trazamos la altura correspondiente a uno de los vértices, con lo cual se forman dos triángulos rectángulos, para así aplicar las definiciones trigonométricas en la resolución del problema.

Sin embargo, hay que preguntarse que pasa cuando el triángulo no es rectángulo. En este caso, no se puede aplicar ni el Teorema de Pitágoras ni las razones trigonométricas. Entonces, hay que buscar un nuevo procedimiento llamado ley de los senos y la ley de los cosenos.

¿Qué es un triángulo oblicuángulo?

Un Triángulo Oblicuángulo es aquél que tiene un ángulo oblicuo, es decir, un ángulo que no es de 90 grados y no es múltiplo de 90 grados. Pueden tener los tres ángulos agudos o tener un ángulo obtuso y dos agudos.

Resolver un triángulo oblicuángulo es aplicar las leyes del seno y del coseno, cuyas relaciones nos permiten encontrar la longitud de un lado de un triángulo o la medida de uno de sus ángulos. Observando el triángulo a desarrollar, obtenemos la información disponible y necesaria para poder usar la ley de los senos o la ley de los cosenos. En líneas generales, la ley de los senos relaciona a la longitud de un lado con el seno de su ángulo y la ley de los cosenos relaciona a la longitud de dos lados del triángulo con su ángulo intermedio.

Enunciado de la Ley de los Senos

“En todo triangulo se cumple que la razón del seno de un ángulo con su lado opuesto es igual a la razón de cualquiera de los otros ángulos con su lado opuesto.”

Lo anterior se expresa así:

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La ley de los senos puede ser usada cuando tenemos las siguientes situaciones:

Queremos calcular la longitud de un lado y conocemos la medida de dos ángulos y la longitud de un lado.

Queremos calcular un ángulo y conocemos la medida de dos lados y un ángulo.

Para usar la ley de los senos, tenemos que relacionar a los ángulos con sus lados opuestos. Por ejemplo, podemos aplicar la ley de los senos en el siguiente triángulo si es queremos encontrar la longitud del lado b y conocemos la medida de los ángulos A, B y la longitud del lado a. Alternativamente, también podemos aplicar la ley de los senos si es que queremos encontrar la medida del ángulo A y conocemos las longitudes de los lados a, b y la medida del ángulo B.

Aplicación práctica de la ley de los senos:

✅Cálculo de la altura de un árbol

✅Hallar el ángulo de elevación del suelo

✅Plano para construcción de puentes

✅Estudio y dibujo de carriles de una autopista

✅Itinerario de un planeo

✅Ubicación de un foco de incendio

✅Situación de un transmisor de radio clandestino

✅La altitud de una montaña y otros casos.​

Demostración de la ley del seno en triángulos acutángulos 

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Demostración de la ley del seno en triángulos obtusángulos 

Ejemplos resueltos paso a paso de la aplicación de la ley del seno

EJEMPLO 1

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EJEMPLO 2

EJEMPLO 3

EJEMPLO 4

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EJEMPLO 5

Enunciado de la Ley de los Cosenos

"En cualquier triángulo, el cuadrado de uno de los lados es igual a la suma de los cuadrados de las longitudes de los otros dos lados, menos el doble producto de éstos por el coseno del ángulo que forman".

La ley de los cosenos puede ser usada cuando tenemos las siguientes situaciones:

✅Queremos encontrar la longitud de un lado y conocemos las longitudes de dos lados y su ángulo intermedio.

✅Queremos encontrar la medida de cualquier ángulo y conocemos las longitudes de los tres lados del triángulo.

Para usar la ley de los cosenos siempre usamos el ángulo que se encuentra entre los dos lados conocidos. Por ejemplo, podemos aplicar la ley de cosenos si es que queremos encontrar la longitud del lado c en el siguiente triángulo y conocemos las longitudes de a y b y la medida del ángulo γ.

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Demostración de la ley del coseno

Ejemplos resueltos paso a paso de la aplicación de la ley del coseno

Ejemplo 1

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Ejemplo 2

Ejemplo 3