Números naturales
Los números naturales surgieron de la necesidad de los primeros seres humanos de saber cuántas cosas tenían o para intercambiar. Todo esto mediante la creación de símbolos que representan las cantidades.¿Para qué sirven los números naturales?
Tienen fundamentalmente dos funciones: El de contar y Ordenar cosas.De aquí surgen dos definiciones muy importantes en matemáticas:
¿Qué son Números cardinales?
Podemos definir los números cardinales como aquellos que utilizamos para contar y para realizar operaciones aritméticas (suma, resta, multiplicación, división…).**
O dicho de otra manera, los números cardinales expresan unidades enteras. Con ellas se pueden medir cantidades. Se utilizan junto a sustantivos contables.
También se puede señalar que los números cardinales se pueden emplear para cuantificar el tamaño de un conjunto (finito o infinito),
1, 2, 3, …, 20, 21, …., 98, 99, 100...
¿Qué son los Números ordinales?
Son aquellos que expresan el lugar que ocupa una persona, animal o cosa en una sucesión ordenada (expresan orden):Por ejemplo: Primero, segundo, tercero…
A cada número cardinal le corresponde un número ordinal.
1° Primero
2° Segundo
3° Tercero
4° Cuarto
5° Quinto
6° Sexto
7° Séptimo
8° Octavo
9° Noveno
10° Décimo
¿Cómo se simbolizan los números naturales?
Existe una controversia en cuanto a considerar si el cero (0) es un número natural o no, ya que hay ramas de la matemática que lo consideran como tal, pero otras no. Más adelante daremos una explicación más exhaustiva al respecto. Pero, de entrada, aquí si consideraremos al cero como un número natural, porqué si no ¿Cómo demostraríamos que la suma tiene un elemento neutro?
Al considerarlo la notación para representar al conjunto de los números naturales sería:
El conjunto de los números naturales puede representarse mediante una semirrecta con puntos igualmente espaciados.
Con respecto al conjunto de los números naturales es necesario considerar los siguientes aspectos:
✅ El conjunto ℕ es un conjunto ORDENADO
Un número natural es menor que otro si está colocado a la izquierda de él en la recta numérica: 5 es menor que 7, es decir 5<7. De la misma forma, un número natural es mayor que otro, si está colocado a la derecha de él en la recta numérica: 6 es mayor que 3, es decir 6>3.✅ El conjunto ℕ es un conjunto INFINITO
Es decir, podemos identificar el primer elemento, pero no el último.✅ Cada número natural tiene un SUCESOR Y ANTECESOR
Sucesor: Es decir otro número natural que se encuentra a la derecha de él en la recta numérica.Antecesor: el número natural que se encuentra justo a la izquierda de la recta numérica.
✅ El conjunto de los números naturales ℕ es discreto
Porque hay una cantidad finita de números naturales.**
¿Es el cero un número natural?
Una de las razones más fuertes para excluir el cero de los naturales, es que si los números naturales son los números de contar: el cero no cuenta nada.
En cambio, en todos los trabajos matemáticos, sobre todo a partir del siglo XIX, siglo revolucionario de las matemáticas, se suele considerar al cero como uno de los números naturales.
También en el siglo XIX y principios del XX, hubo un debate filosófico sobre la naturaleza de los objetos matemáticos, los números naturales.
Había dos corrientes enfrentadas: Los naturalistas, entre los destacaban Henri Poincaré y Leopold Kronecker que decían que los números naturales están en la naturaleza y los constructivistas, que querían fundamentar toda la matemática sobre fundamentos lógicos, axiomáticos que se hicieron muy fuertes en la teoría de conjuntos, entre ellos destacaban Richard Dedekind y Giuseppe Peano que axiomatizó los números naturales.
Pero la posibilidad de que el cero sea natural o no, es posible en ambas corrientes.
¿Pero como cambia la estructura de los números naturales si se incluye el cero o no?
Los naturales es un conjunto de números en el que podemos definir una operación llamada suma.
Cualquier conjunto en el que definamos una operación binaria interna asociativa se llama semi grupo . Los naturales con la suma forman un semi grupo porque la suma es asociativa. Pero si esta operación tiene un elemento neutro, entonces hay una estructura más rica que se llama monoide y como el elemento neutro de la suma es el cero (0), si queremos que los naturales sean un monoide, ¡se tiene que incluir el cero, sino se quedarían en semi grupo!
¿Quién invento el cero?
El enigma fue desvelado a lo largo del siglo XX, y en una reciente datación arqueológica ya no deja lugar a dudas el cero nació en la India.Fueron los sabios Indios los primeros en dibujar un símbolo para representar el cero, un dígito que no aparece en los escritos griegos ni entre los números romanos.
Este simple símbolo disparó la capacidad de los matemáticos para operar con números tan grandes como quisiesen.
No solo usaron el cero como una simple cifra, con la que completar sus sistema numérico posicional, sino que lo convirtieron en un número independiente y con identidad propia, que comenzaron a emplear en operaciones aritméticas ( Suma, resta, multiplicación y división).
La aparición del símbolo
El manuscrito de BakhshalíLa datación por radiocarbono de un viejo manuscrito indio propició un descubrimiento esencial para las matemáticas.
Y es que el manuscrito de Bakhshali, texto contiene el registro más antiguo del número cero, data del siglo III o IV.
Esto significa que el número que representa el concepto de nada es unos 500 años más antiguo de los que pensaba.
Del punto al agujero
El símbolo cero evolucionó de un punto que se usaba en la antigua India y puede verse en las 70 páginas de corteza de abedul que conforman el documento.
Si bien otras culturas como los mayas o los babilonios utilizaban el símbolo cero, fue el punto usado en el manuscrito indio el que desarrolló un agujero en el centro como el cero que usamos hoy día.
Según Richard Ovenden, de la biblioteca Bodleian de la Universidad de Oxford en Reino Unido, también fue en India donde el marcador de posición simbólico se convirtió en un número por su propio peso, y nació el concepto de la cifra tal como existe en nuestros tiempos.
Investigaciones previas habían concluido que el texto databa del siglo VIII y XII.
Este error surgió porque el documento está formado por hojas de distintos períodos.
Ahora se sabe que la hoja en que se hace referencia al cero data del siglo III o IV. Lo que para Ovenden supone un descubrimiento de vital importancia para la historia de las matemáticas.
Manual para comerciantes
El texto fue encontrado por un campesino en 1881, enterrado en un campo de un poblado llamado Bakhshali, en lo que ahora es Pakistán.
Más tarde fue adquirido por un académico experto en la cultura india que lo llevó a Reino Unido en 1902.
Escrito en sánscrito, se cree que era una suerte de manual práctico para los mercaderes que comerciaban a lo largo de la ruta de la seda.
Incluye ejercicios de aritmética y algo similar al álgebra.
El manuscrito será expuestos en octubre en el Museo de Ciencias de Londres como parte de una exhibición que cubre 5.000 años de innovación y avances científicos en India.
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Operaciones básicas en el conjunto de los números naturales
Las operaciones básicas de los números naturales son: Suma, resta, multiplicación y división.👉 Suma o adición de Números Naturales
Entendemos la suma como la operación matemática que resulta de reunir, agregar o complementar algo en una sola varias cantidades.A las cantidades que participan en la operación se le llama sumandos y al resultado suma.
Para su relación se emplea entre los sumandos el signo + que se lee “más”.
La suma es el resultado que representa el
resultado de una adición.
Los objetos que se suman deben ser de una
misma especie.
Propiedades de la suma o adición de números naturales
✅Clausura o cerradura de la suma
Tomemos dos números naturales cualesquiera, por ejemplo 5 y 6.
La suma 5+6 da como resultado 11, que también es un número natural.
Clausurar significa cerrar, por eso se dice también que la suma es
cerrada sobre el conjunto de los naturales. Generalizando esta propiedad,
se dice que si a y b son dos números naturales, entonces la suma
de a y b también lo es.
La suma de dos o más números
naturales será siempre otro número natural.
✅Propiedad Conmutativa
También llamada propiedad de
orden de la suma. Esta propiedad significa que los sumandos se pueden sumar en
cualquier orden y que la suma siempre es la misma.
El orden de los sumandos no
altera la suma.
✅Propiedad Asociativa
Permite asocial o agrupar los números
para realizar la operación de dos en dos. Aquí no nos referimos a cambiar el
orden de los sumandos, en el mismo orden en que aparecen, agruparlos.
Gracias a la propiedad
asociativa y conmutativa, se puede efectuar largas sumas con facilidad,
modificando el orden y asociando según como convenga.
✅Propiedad Modulativa o elemento neutro
Esta propiedad es algo especial. Habla de la
existencia de un número en particular que no afecta a los demás cuando se
realiza la suma. ¿Conoces un número que, sumado con uno, el resultado sea
uno? Pues un número así de especial para la suma sí existe, es nada más
que el cero,
Por eso se dice que el cero es el módulo de la
suma, de ahí el nombre de propiedad modulativa. Para generalizar esta
idea podemos escribir: dado cualquier número se tiene:
✅Propiedad de la monotonía
Si a ambos miembros de una igualdad le sumamos un
mismo número natural, entonces resultará otra igualdad. Ejemplo:
**
👉 Resta o sustracción de números naturales
Propiedades de la resta
✅ La resta no tiene propiedad de Cerradura
✅ La resta no tiene propiedad conmutativa
✅ La resta no cumple con propiedad asociativa
✅ La resta no tiene elemento neutro
**
👉 Multiplicación de dos números naturales
La multiplicación de dos números naturales es la operación que consiste
en hallar un tercer número que sea la suma de tantos sumandos iguales a uno de
ellos, como lo indica el otro.
La multiplicación o producto de dos números naturales es una forma
abreviada de expresar la suma repetida de un número. Si a y b son números
naturales, su multiplicación se define como la suma repetida del número a una
cantidad de veces igual al número b.
La operación se denota con el símbolo x y tiene la siguiente forma
El multiplicando y el multiplicador reciben también el nombre de factores
Los números que intervienen en una multiplicación
reciben un nombre con el propósito de identificarlos. A los números que
se están multiplicando se les conoce como factores, mientras que el resultado de la
multiplicación es conocido como producto.
En la multiplicación, a y b son los factores y c es el producto.
Propiedades de la multiplicación de números naturales
✅ Propiedad de Cerradura o clausura
Toda multiplicación de dos números naturales nos da
como resultado otro número natural
✅ Propiedad conmutativa de la multiplicación
Una de las propiedades más importantes de la
multiplicación es la conmutatividad, que señala que el orden de los factores no altera el producto.
Dicho
de otra manera, lo que quiere decir es que cuando multiplicamos dos números no
importa el orden, el resultado de la operación siempre será el mismo.
En
forma generalizada, se tiene que:
✅ Propiedad asociativa de la multiplicación
El producto total de una multiplicación no varía si se
reemplazan dos o más de los factores por su producto parcial.
Al
igual que la suma, la multiplicación es una operación binaria (solo intervienen
dos factores). Para multiplicar más de dos factores es necesario asociarlos
consecutivamente para realizar la operación mediante varias multiplicaciones de
dos factores.
La propiedad asociativa de la multiplicación nos expresa que sin importar el orden en que efectuemos las multiplicaciones parciales, el resultado final de la operación no cambiará.
De
manera general tenemos que:
✅ La multiplicación tiene elemento neutro
Cuando se habla de módulo o elemento neutro,
se hace referencia a un número que no afecte a los demás cuando son
multiplicados por él.
Ese número en cuestión es el número uno (1)
Es así que en forma general afirmamos que:
✅ Elemento Absorbente
El cero (0) es el elemento absorbente con
respecto a la multiplicación en el conjunto de los números naturales N,
Por esta propiedad, el producto de las multiplicaciones
de números naturales es igual a 0 si al
menos uno de los factores es igual a 0.
✅ Propiedad distributiva de la multiplicación
Hasta ahora se han estudiado propiedades que
hacen referencia a una sola operación. La propiedad distributiva relaciona dos
operaciones: la suma /resta y la
multiplicación. Por esa razón es esencial comprenderla
bien.
La
propiedad distributiva brinda otra manera de proceder en estos
casos. Primero se multiplica
el por cada uno de los números dentro del paréntesis. Luego se
suman estos dos productos:
Es importante reconocer
que es la
multiplicación la que se distribuye sobre la suma y no al contrario.
Para generalizar esta idea
se escribe: Dados tres números cualesquiera a, b y c, se cumple:
Es importante reconocer que es la multiplicación la que se
distribuye sobre la suma y no al contrario.
**
👉 División de números naturales
¿Qué significado tiene el término dividir?
Dividir es
repartir una cantidad en partes iguales.
Podemos definir la
división como la operación matemática que nos permite averiguar exactamente cuantas
veces una cantidad está contenida en otra.
También la
podemos definir como la operación matemática mediante la cual se trata de
descomponer un número, al que denominamos dividendo, en tantas partes como lo
indique otro número llamado divisor.
Consideremos el conjunto ℕ = {0, 1, 2, ...n, ...} de los números naturales y sean a,b no
nulo, c números naturales, diremos que:
a ÷ b = c
si a = b.c
Partes de una división
Dividendo: es la
cantidad que se reparte
Divisor: señala
el número de partes que se hacen.
Cociente: es la
cantidad que le toca a cada parte.
Resto: es la
cantidad que queda sin repartir.
Propiedades de la división de números naturales
✅ No tiene Propiedad de cerradura:
Cuando se dividen uno o más número naturales o enteros, el resultado no siempre es un número natural o entero.
✅ La división no es conmutativa
Conmutar significa cambiar una cosa por otra. La propiedad conmutativa hace referencia al intercambio del orden de la operación. Es decir, si resulta lo mismo ¿a÷b y que b÷a? Veamos a través de un ejemplo que la división no cumple esta propiedad.
✅ La división no es asociativa
La propiedad asociativa dice que cuando se tiene una expresión cómo es posible realizarla de dos formas: asociando los dos primeros números, o los dos últimos. Lo anterior quiere decir que, de cumplirse la propiedad asociativa, se debe tener Veamos si esto se cumple:
✅ Cero dividido entre cualquier número siempre da cero
Esto quiere decir que siempre que dividamos cero entre cualquier otro número obtendremos como resultado cero. Para generalizar esta idea podemos decir que si a es cualquier número diferente de cero:
✅ El elemento neutro de la división es el número 1.
Esto significa, que
cualquier número dividido entre 1, tendrá como resultado el mismo número.
XD
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